数据结构与算法学习九:学习递归。递归的经典实例:打印问题、阶乘问题、递归-迷宫问题、八皇后问题

文章目录

  • 前言
  • 一、递归
    • 2.1 递归简单介绍
  • 2.2 重要规则
  • 2.3 递归形式
  • 2.4 递归能解决的问题
  • 二、打印问题
    • 2.1 介绍
  • 2.2 代码
  • 2.3 代码测试
  • 2.4 思路分析和图解
  • 三、阶乘问题
    • 3.1 介绍
  • 3.2 代码实现
  • 3.3 测试与分析
  • 四、递归-迷宫问题
    • 4.1 问题介绍
  • 4.2 代码实现
  • 4.2 测试结果
  • 五、八皇后问题
    • 5.1 问题介绍
  • 5.2 思路分析
  • 5.3 代码实现
  • 5.4 测试结果

前言

  • 先说一下递归算法的重要性,后面的快速排序、归并排序都会用到递归。可见其重要性
  • 这里学的时候,自我感觉有点难,逻辑有点混乱,可以先学习一遍,然后到了后面用到的时候,再来学习一遍。

一、递归

2.1 递归简单介绍

简单的说:
递归就是方法自己调用自己,每次调用时传入不同的变量。
递归有助于编程者解决复杂的问题,同时可以让代码变得简洁。

2.2 重要规则

1、 执行一个方法时,就创建一个新的受保护的独立空间(栈空间);
2、 方法的局部变量是独立的,不会相互影响,比如n变量
3、 如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组),就会共享该引用类型的数据.
4、 递归必须向退出递归的条件逼近,否则就是无限递归,出现StackOverflowError,死龟了
5、 当一个方法执行完毕,或者遇到return,就会返回,遵守谁调用,就将结果返回给谁,同时当方法执行完毕或者返回时,该方法也就执行完毕;

2.3 递归形式

递归就是函数调用自己本身,但是要加上 必须的条件,以免变成 死龟

形式如下


public void func(int n){
   
     
	if(condition){
   
     
		
	}
	func(n-1);
}

2.4 递归能解决的问题

1、 各种数学问题如:8皇后问题,汉诺塔,阶乘问题,迷宫问题,球和篮子的问题(google编程大赛)
2、 各种算法中也会使用到递归,比如**快排,归并排序,二分查找,分治算法**等.;
3、 将用栈解决的问题–>第归代码比较简洁;

二、打印问题

2.1 介绍

通过打印来了解递归

2.2 代码

/**
 * 打印问题.
 * 当 n 为 4时 输出的顺序:n=2 n=3 n=4
 * @param n
 */
 public static void test01(int n) {
   
     
    if (n > 2) {
   
     
        test01(n - 1);   // 如果为 + 时,会成为 栈溢出,报错:java.lang.StackOverflowError
    }
    System.out.println("n=" + n);
}

2.3 代码测试

当传入4 时,打印的顺序时是:
 

2.4 思路分析和图解

 
可以看出 每一次调用都要先走进入,走到最后,在一步步走出来,进行打印。

三、阶乘问题

3.1 介绍

用递归实现阶乘问题,如 4!= 432*1

3.2 代码实现

/**
 * 阶乘问题
 *
 * @param n
 * @return
 */
public static int factorial(int n) {
   
     
    if (n == 1) {
   
     
        return 1;
    } else {
   
     
        return n*factorial(n - 1); //n=3时, f(3) = 3*f(2)=3*2*f(1)= 3*2*1, 依次类推
    }
}

3.3 测试与分析

当传入4 时,factorial(4) = 4factorial(3)
factorial(3) = 3
factorial(2)
factorial(2) = 2factorial(1)
factorial(1) = 1
所以最终就为 factorial(4)= 4
321=24.

四、递归-迷宫问题

4.1 问题介绍

上图看介绍:初始化二维数组为地图,map[8][7],1代表红色的墙。小球初始位置map[1][1] ,找到最终位置map[6][5]。
 

4.2 代码实现

package com.feng.ch08_recursion;

/*
 * 递归解决迷宫问题
 * 从 map[1][1] 找到 map[6][5]
 * 开始时,只有递归,没有回溯,
 * 查看回溯请求:
 *   1、map[1][2] = 1;map[2][2] = 1; ,在运行就看到了回溯,都设置为了 3
 * */
public class R2_MiGong {
   
     
    public static void main(String[] args) {
   
     
        // 先创建一个二维数组,模拟迷宫
        // 地图
        int[][] map = new int[8][7];
        // 使用 1 表示墙
        // 上下全部置为1
        for (int i = 0; i < 7; i++) {
   
     
            map[0][i] = 1;
            map[7][i] = 1;
        }
        // 左右置为 2
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
   
     
            map[i][0] = 1;
            map[i][6] = 1;
        }

        // 设置挡板 ,用 1 表示
        map[3][1] = 1;
        map[3][2] = 1;
//        map[1][2] = 1;
//        map[2][2] = 1;

        // 输出  初始化的地图
        for (int i = 0; i < map.length; i++) {
   
     
            for (int j = 0; j < map[i].length; j++) {
   
     
                System.out.printf("%d\t", map[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }

        // 使用  递归回溯  给小球找路
        setWay(map, 1, 1);

        // 输出 递归后的地图
        System.out.println();
        for (int i = 0; i < map.length; i++) {
   
     
            for (int j = 0; j < map[i].length; j++) {
   
     
                System.out.printf("%d\t", map[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }

    // 使用  递归回溯  来给小球找路
    /*
     *
     * 说明:
     * 1、map表示地图
     * 2、i, j 表示从地图的哪个位置开始出发 ,(1 , 1);
     * 3、如果小球能到 map[6][5] 位置,则说明通路 找到。
     * 4、约定: 当 map[i][j] 为0 表示该点没有走过; 当为 1 表示墙;2 表示通路可以走; 3 表示该点已经走过。但是走不通
     * 5、在走迷宫时,需要确定一个策略(方法) 下-》右-》上-》左 ,
     * 如果该点走不通,再 回溯
     *
     * @param map 表示地图
     * @param i   从哪个位置开始找
     * @param j
     * @return 如果找到通路,就返回true, 否则返回false
     * */
    public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
   
     
        if (map[6][5] == 2) {
   
            //  递归的条件
            return true;
        } else {
   
     
            if (map[i][j] == 0) {
   
       // 如果当前这个点还没走过
                // 按照策略 下-》右-》上-》左  走
                map[i][j] = 2; // 假定改变是可以走通的
                if (setWay(map, i + 1, j)) {
   
      // 向下走
                    System.out.println("走过i=" + (i + 1) + ", j=" + j);
                    return true;
                } else if (setWay(map, i, j + 1)) {
   
       // 向右走
                    System.out.println("走过i=" + i + ", j=" + (j + 1));
                    return true;
                } else if (setWay(map, i - 1, j)) {
   
       // 向上走
                    System.out.println("走过i=" + (i - 1) + ", j=" + j);
                    return true;
                } else if (setWay(map, i, j - 1)) {
   
       // 向左走
                    System.out.println("走过i=" + i + ", j=" + (j - 1));
                    return true;
                } else {
   
     
                    map[i][j] = 3;
                    return false;
                }
            } else {
   
      // 如果 map[i][j] !=0, 可能是 1, 2, 3
                return false;
            }
        }
    }
}

4.2 测试结果

 

五、八皇后问题

5.1 问题介绍

八皇后问题,是一个古老而著名的问题,是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出:在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即:任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上,问有多少种摆法

5.2 思路分析

1、 第一个皇后先放第一行第一列;
2、 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否OK,如果不OK,继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完,找到一个合适;
3、 继续第三个皇后,还是第一列、第二列……直到第8个皇后也能放在一个不冲突的位置,算是找到了一个正确解;
4、 当得到一个正确解时,在栈回退到上一个栈时,就会开始回溯,即将第一个皇后,放到第一列的所有正确解,全部得到.;
5、 然后回头继续第一个皇后放第二列,后面继续循环执行1,2,3,4的步骤【示意图】;

说明:
理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘,但是实际上可以通过算法,用一个一维数组即可解决问题. arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} //对应arr 下标 表示第几行,即第几个皇后,arr[i] = val , val 表示第i+1个皇后,放在第i+1行的第val+1列

5.3 代码实现

package com.feng.ch08_recursion;

public class R3_Queue8 {
   
     

    // 定义 一个max 表示共有多少个黄后
    int max = 8;
    // 定义数组 array ,保存皇后放置位置的结果,比如 arr = {0 ,4 ,7, 5, 2, 6, 1, 3}
    int[] array = new int[max];
    static int count = 0;
    static int judgeCount = 0;

    public static void main(String[] args) {
   
     
        R3_Queue8 queue8 = new R3_Queue8();
        queue8.check(0);

        System.out.printf("一共有%d种解法\n", count);
        System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次", judgeCount); // 1.5w
    }

    /*
     * 编写一个方法, 放置第 n 个皇后
     * 特别注意: check 是每一次 递归时,进入到 check中都有 for (int i = 0; i<max; i++) , 因此 会有回溯
     * */
    public void check(int n) {
   
     
        if(n == max) {
   
       //n = 8 , 其实8个皇后就既然放好
            print();
            return;
        }

        // 依次放入皇后,并判断是否冲突
        for(int i = 0; i < max; i++) {
   
     
            // 先把当前这个皇后 n ,放到改行的第 1 列
            array[n] = i;
            // 判断当放置 第 n 个皇后到 i 列,是否冲突
            if (judge(n)) {
   
     
                // 接着放 n+1 个皇后,即开始递归
                check(n + 1);
            }
            /*
             * 如果冲突,就继续执行 array[n] = i; 即将第 n 个皇后,放置在本行的 后移的一个位置
             * */
        }
    }

    // 查看当我们放置第 n 个皇后,就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
    /*
     * Math.abs() : 求绝对值的方法
     *
     * @param n 表示第 n 个皇后
     * @return
     * */
    private boolean judge(int n) {
   
     
        judgeCount++;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
   
     
            /*
             * 说明:
             * 1、array[i] == array[n] : 表示判断 第 n 个皇后是否和前面的 n-1 个皇后在同一列
             * 2、Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i]) :
             * */
            if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
   
      // 如果为 true,则为同一列
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    // 写一个方法,可以将皇后摆放的位置输出
    private void print() {
   
     
        count++;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
   
     
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}

5.4 测试结果

 

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